¿Saben
matemáticas las abejas?
Una
tarea para desarrollar la competencia geométrica de alumnos de
variados niveles.
Esta
propuesta didáctica hay que calificarla como clase tradicional
participativa. Se ha diseñado con el propósito de darle sentido al
estudio de las formas geométricas planas, de sus elementos
(vértices, lados, ángulos, perímetros, áreas,…) y a las
diferentes clasificaciones de estas figuras. A la vez trata de
desarrollar las competencias matemáticas básicas como la
observación, manipulación, experimentar, clasificar, establecer
relaciones, estimar, tantear, resolver problemas y responder a
preguntas. Además de otras que no son puramente matemáticas como
buscar información, debatir, escribir,…
La
propuesta se basa en el esquema que define el trabajo por
competencias como una actividad con tres elementos:
Y
se ha tratado en todo momento de que aparecieran esos tres lados del
prisma, de modo que la actividad tuviera sentido para los alumnos.
El
material esta organizado en dos partes:
- La primera es una presentación para poderla utilizar en clase y que incorpora todas las ideas necesarias para el desarrollo de la tarea.
- La segunda es esta explicación del material. Permite elegir aquello que se quiere pedir a los alumnos de acuerdo a su nivel.
Por
otro lado parece necesario que en el desarrollo de cada aspecto,
tarea o problema se pase por tres niveles
- Manipulativo. Hay que preparar material de modo que la tarea pueda ser resuelta de modo manipulativo por aquellos alumnos que lo precisen. El geoplano, los mecanos de cartón, el libro de espejos, los polígonos en cartulina y cualquier otro que pueda hacer falta y que pueda inventarse son necesarios para que los alumnos alcancen la comprensión del problema y busquen soluciones. “Todo lo que llega al cerebro primero está en las manos”.
- Nivel de dibujo. Pediremos a los alumnos que dibujen, esquematicen, representen los aspectos que están trabajando. El esfuerzo de plasmar en papel el problema ayuda a la búsqueda de soluciones y a clarificar el camino para lograrlas. En ocasiones podemos ofrecer soportes que ayuden a crear los dibujos.
- Por último los alumnos deben ser capaces de expresar oralmente o por escrito el problema o tarea que se les plantea, las ideas o planes para solucionarlo, las estrategias o actividades que han desarrollado al solucionarlo, los errores y los éxitos alcanzados y especialmente lo que han aprendido en el proceso.
Cada
alumno a su nivel debería pasar por estos tres escalones que
desarrollan sus competencias.
Además
deberíamos ser capaces de trabajar, en aquellas tareas en que tenga
lógica, algunas de las siguientes habilidades:
Observar.
Prestas atención, formarse imágenes mentales, recordar, memorizar
lo observado, hacer dibujos o comunicar lo observado.
Manipular.
Proceso del que ya se ha hablado.
Experimentar.
Introducir
voluntariamente cambios en aquellos que se está observando y
controlarlo es esencialmente este proceso. Las estimaciones previas
son necesarias.
Relacionar.
Es la diferencia que determina la construcción de competencias. Solo
podemos lograrlo al presentar tareas que obliguen a comparar,
clasificar, ordenar elementos de la realidad y por otro lado
movilizar todos los conocimientos que tiene el alumno para la
búsqueda de soluciones. (Es todo lo contrario de pedir que busquen
una operación y que sea la del tema del libro que se está dando).
Estimar.
Es
dar una apreciación, un calculo a ojo de lo que se cree que va ser
la solución de un problema. Es desarrollar el sentido común
matemático y hacer pensar a priori todo el proceso de solución.
Tantear.
Cuando no se sabe muy bien como solucionar un problema el tanteo es
una buena opción. Refuerza el hábito de comprobar las soluciones.
Usar
el lenguaje matemático.
No requiere de ninguna explicación.
Resolver
problemas. Para
lo cual hay que plantear problemas y este es un intento de mostrar
como se puede aprender una parte importante de la geometría de
primaria a partir de problemas contextualizados.
Pero
el objetivo esencial de todo esto es otro. Se trata de presentar las
matemáticas como algo hermoso. Frente a unas matemáticas de papel y
lápiz, llenas de operaciones que nada tienen que ver con la
realidad, capaces de aburrir a todos los que se acercan, se presenta
una actividad conectada con la realidad. A poco que el profesorado le
ponga un poco de imaginación, ganas y compromiso la tarea se
convierte en un cuento fantástico en el que se va avanzando hacia el
descubrimiento de las razones por las que las abejas construyen sus
colmenas como lo hacen.
1.
¿Qué te llama la atención de la foto? (Motivar, observar y darle
sentido al aprendizaje)
Al
presentara la foto de una colmena se trata de recoger todas las ideas
que tengan algo que ver con las matemáticas en la foto. Seguramente
alguien hablará de los hexágonos. Cuanto más profundicemos en
conocer el mundo de las abejas, probar la miel, tocar la cera,
visitar colmenas etc., más motivados estarán los alumnos hacia
el tema. La globalización con otras áreas es sencilla y precisa.
2)
¿Qué razones tienen las abejas para construir la
colmena
con hexágonos? (Observar, razonar, debatir y expresarse)
El
debate puede hacer aparecer muy diferentes ideas y seguramente
algunas muy creativas y valiosas para el desarrollo de conocimiento.
Hay que recogerlas y explorarlas todas. Sin embargo las ideas que se
han trabajado en el tema son tres:
- Los hexágonos son fáciles de construir ya que tienen los lados y los ángulos iguales y las abejas aprenden rápido a crearlos.
- Los hexágonos son formas que no dejan espacio entre ellos al construirlos y por lo tanto se gasta menos cera.
- Las colmenas están hechos para guardar miel y con esa forma se puede guardar más cera que con otras formas geométricas.
PRIMERA
PARTE: ¿QUÉ CLASE DE POLIGONOS SON MÁS FACILES DE CONSTRUIR?
¿QUÉ
HAY QUE SABER HACER?
Al
finalizar esta primera parte deberías ser capaz de:
Definir
polígono. Reconocerlos en la realidad. Saber sus nombres.
Dibujar
y nombrar todas las partes de un polígono: vértice, lado ángulo,
altura, base, diagonal, eje de simetría,
Clasificar
los polígonos en regulares e irregulares. Nombrar las diferencias
entre unos y otros.
Saber
dibujar o crear polígonos en el geoplano, en el mecano de cartón
o con regla y compás.
Dar
razones de porqué es más fácil construir colmenas con polígonos
regulares que con irregulares
|
3.-
Regular
o irregular: ¿Cuál es más fácil de construir para las abejas?
¿Por qué? (Observar, razonar, debatir y expresarse)
Se trata de encontrar razones por las que las abejas puedan construir fácilmente los hexágonos.
4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 , 13 , 14 y 15 Construir y dibujar
polígonos regulares e irregulares.( Recordar, clasificar, conocer
los elementos, estrategias de construcción a diferentes niveles de
complejidad,… )
Hay
que buscar las razones por las que son más fáciles de construir los
regulares, que se pueden resumir en dos ideas:
- Utilizan el mismo lado siempre con lo que el diseño y fabricación es muy repetitivo
- Los ángulos son siempre los mismos, por ello las uniones son también repetitivas y sencillas.
El
trabajo de dibujar, construir o crear en el geoplano y conocer los
diferentes polígonos y sus nombres cobra sentido si les decimos a
los alumnos que las abejas han probado a lo largo de su historia
diferente formas para construir sus panales y almacenar la miel. Hay
al menos tres niveles de precisión en el trabajo. El primero es
utilizar las tiras de cartón y los geoplanos para crearlas y acabar
copiando y clasificando las figuras. La segunda es buscar, clasificar
y dibujar a mano alzada los polígonos regulares e irregulares. La
tercera es utilizar compás y regla.
La
evaluación
del aprendizaje de los alumnos pasa por crear una lista de
comprobación adaptada al nivel de los mismos, en la que se marquen
los conceptos a dominar, las clasificaciones a desarrollar, las
diferentes representaciones a crear y el mecanismo por el que se
expondrán las conclusiones a las que se llega. La utilización de
esta lista de cómo base para el diálogo entre profesor y alumno
hará que se de un paso más en el aprendizaje. Al principio de esta
parte se ha incluido un ejemplo, pero que debe ser adaptado a cada
clase y situación.
Conclusiones
de la primera parte: ¿?
SEGUNDA
PARTE: ¿COMO PODEMOS AHORRAR CERA?
¿QUÉ
HAY QUE SABER HACER?
Al
finalizar deberías ser capaz de:
Saber
lo que es teselar o embaldosar.
Explicar
el método para saber si un polígono regular es capaz de teselar
o no. (Al menos hay dos)
Explicar
las diferentes clases de triangulo, sus nombres y como se
clasifican. Explicar si todos los triángulos son capaces de
teselar.
Explicar
las diferentes clases de cuadriláteros, sus nombres y como se
clasifican. Explicar si todos son capaces de teselar.
Saber
medir ángulos. Conocer los tipos de ángulos.
Explicar
que polígonos regulares son más adecuados para ahorrar cera en
la construcción de colmenas.
|
16.
¡Qué no sobre sitio entre las celdas! (Observar, manipular y
razonar)
Se trata de analizar lo importante que es el uso mínimo de la cera
para ahorrar y hacer más eficaz el trabajo. La pregunta que guía el
trabajo es ¿Con
qué polígonos regulares se puede hacer celdas sin que queden
espacios libres entre ellas?
17.
¿Qué es teselar?
A cubrir todo un plano se le llama
"teselar", aunque quizás hubiera sido mejor llamarlo
"embaldosar".
Un
teselado o teselación es una regularidad o patrón de figuras(es
decir que se repiten) que cubre o pavimenta completamente una
superficie plana y que cumple con dos requisitos:
- Que no queden huecos
- Que no se superpongan las figuras
En Internet
aparecen
18.
¿Con que polígonos regulares se puede hacer celdas sin que queden
espacios libres?
Recordamos
que las abejas han aprendido a usar los polígonos regulares por su
facilidad para construirlos ya que tienen los lados y ángulos
iguales y sólo hay que repetirlos una y otra vez.
Pero
preguntamos: ¿Cubren todo el espacio sin superponerse? ¿Qué
polígonos regulares cubren esa premisa?
Vamos
a trabajar solo con algunos de ellos y lo haremos a dos niveles de
complejidad:
- 19. Dibujamos o fotocopiamos los polígonos y los recortamos para hacer un teselado o embaldosado. Los alumnos tendrán que presentar un informe de cuales son los polígonos que permiten cubrir todo el espacio y que por lo tanto pueden ser utilizados por las abejas sin gastar cera de más. Puede ser muy interesante hacer fotos de los resultados ahora que están fácil hacerlas.
- 20. Para alumnos con una competencia más alta después del paso anterior o directamente se puede presentar la imagen de la diapositiva y comenzar un diálogo sobre cuales son las características de los ángulos que forman un polígono que nos pueda permitir teselar con él.
Las
preguntas que se pueden utilizar pueden ser:
¿Qué
sucede en los vértices interiores de las teselaciones correctas?
¿Qué
sucede en los vértices de las teselaciones incorrectas?
¿Cuántos
triángulos se juntan en un vértice interior para teselar
correctamente? ¿Y cuadrados? ¿Y hexágonos?
¿Tiene
que ver eso algo con la medida de los ángulos? Usa esta tabla para
llegar a conclusiones:
| Figura | Número de ángulos | Medida de los ángulos | Ángulos en un vértice interior del teselado | Suma total de grados en un vértice interior |
¿Eres
capaz de llegar a una regla sobre las teselaciones y los ángulos de
las figuras que se utilizan?
En
las siguientes dos diapositivas se ofrece la oportunidad de iniciar
dos investigaciones. Se dejan completamente abiertas ya que deben ser
los alumnos los que las diseñen y puedan llegar a conclusiones ,
reglas o leyes.
21
¿Se puede teselar con cualquier tipo de triángulo? ¿Cuántas
clases de triángulos hay?
22.
¿Se puede teselar con cualquier tipo de paralelogramo? ¿Cuántos
tipos de cuadriláteros conoces?
Conclusiones
de la segunda parte: ¿?
TERCERA
PARTE: EN QUÉ TIPO DE CELDA CABE MÁS MIEL.
Al
finalizar deberías ser capaz de:
Saber
lo que es el perímetro de un polígono y como se calcula.
Saber
los que es el área de un polígono y como se calcula. ( hay
métodos diferentes : en el geoplano, con cuadriculas, utilizando
una fórmula)
Conocer
la relación del perímetro con el área según el tipo de
polígono.
Dar
razones de la elección del hexágono para construir colmenas.
|
Existen
diferentes modos de comparar el área de los tres polígonos
regulares (cuadrado, triangulo equilátero y hexágono) para
determinar cual es la que tiene más capacidad:
- 23. Por aproximación recortando. Hace falta los dibujos de las tres figuras con el mismo perímetro y superponerlos recortando y comparando
- 24 Usando el geoplano y la formula de Pick.(Ver presentación sobre el geoplano en este mismo blog)
- 25 Utilizando las formulas del área de cada uno de ellos y comparando.
26
Relación perímetro- área – forma.
Para
alumnos con buen nivel se puede pedir que completen esta tabla y
lleguen a alguna conclusión o ley a partir de las regularidades
encontradas.
| Figura (forma) | Perímetro | Nº de lados | Área |
| Triangulo | 72 | ||
|
72 | ||
| Pentágono | 72 | ||
| hexágono | 72 | ||
| Octógono | 72 |
Esta una
tabla ya construida sobre el tema. Hay que asegurarse de que los
perímetros son iguales y después pensar sobre lo que ocurre,
Conclusión
de la tercera parte: ¿?
27,
CUARTA PARTE: ¿Por qué no usaron Circunferencias?
Al
finalizar deberías ser capaz de:
Definir,
dibujar y nombrar todos los elementos de una circunferencia.
Dar
razones para preferir el hexágono a la circunferencia para
construir colmenas.
|
EL
OBJETIVO ES REALIZAR UN RESUMEN DE TODO EL PROCESO DE SELECCIÓN DEL
HEXAGONO COMO FORMA MÁS ADECUADA PARA LA CONSTRUCCCIÓN DE PROBLEMAS
Y EXPLICAR EN QUE AVENTAJA ESTA FORMA A LA CIRCULAR.
28.
¿Quieres aprender más?
Para
saber más sobre la utilización del libro de espejos ver
Páginas
con muchos recursos
